男单 618

　　这个著名的问题是这样的：（引自中文wiki： http://www.mirrorin.com/wiki/emgud2lr/aXBlZGlh/Lm9yZy93/aWtpLyVF/NCVCOCU4/OSVFOSU5/NyVBOCVF/OSU5NyVB/RSVFOSVB/MiU_3D/98）

这个游戏的玩法是：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率？

　　很多人（包括我自己）第一次看到这个题目的时候直观的感觉剩下的两扇门后面要么是羊要么是汽车，换不换门选中汽车的概率都是1/2，换门并不能提高选中汽车的可能性，那还是坚持最初的选择好了。而事实并不是这样。问题的答案是：如果不换，那么选中汽车的概率是1/3，如果换，选中汽车的概率是2/3。

　　网上已经有很多关于求解过程的讨论，这里我只讲我的理解。首先明确一点，主持人知道汽车在哪扇门后面并且他肯定会打开一扇有羊的门。否则如果主持人打开的是一扇有汽车的门，游戏就玩不下去了。既然主持人肯定会打开有羊的门，那么是否选择换另外一扇门就可以在整个游戏之前确定，也就是说，参赛者有两种策略，一种是随便选择一扇门并且不换门，另一种是随便选择一扇门并且在主持人打开有羊的门之后换选另外一扇门。下面只要分别计算这两种策略选中汽车的概率就可以了。

　　显然第一种策略选中汽车的概率是1/3，选中羊的概率是2/3。

　　第二种策略下可以根据第一次的选择分为两种互斥的情况，根据加法原理将两种情况下选中汽车的概率相加，就是第二种策略选中汽车的概率。

1. 第一次选择的门后面是汽车，这个事件的概率为1/3。因为剩下的另外一扇门后面肯定是羊，即，是汽车的概率为0，因此这种情况下，最终选中汽车的概率为1/3*0=0。
2. 第一次选择的门后面是羊，这个事件的概率为2/3。因为剩下的另外一扇门后面肯定是汽车，即，是汽车的概率为1，因此这种情况下，最终选中汽车的概率为2/3*1=2/3。

所以第二种策略选中汽车的概率为0+2/3=2/3。简单的讲，当参赛者以2/3的概率选中一扇有羊的门之后，主持只能将有汽车的门留给参赛者，如果换门，就可以选中汽车。

　　为什么我们会有最初的1/2困惑，并且相当一部分人看了”正确”的解答仍然坚持这样认为？我想了差不多一整天，我觉得关键是主持人打开的那扇门。因为主持人知道汽车在哪里，所以当他打开一扇有羊的门之后，剩下两扇门就不再是均匀分布了。

　　Wiki上关于这个问题的解答如下：

有三种可能的情况，全部都有相等的可能性(1/3)：

1. 参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。
2. 参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。
3. 参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。

在头两种情况，参赛者可以透过转换选择而赢得汽车。第三种情况是唯一一种参赛者透过保持原来选择而赢的情况。因为三种情况中有两种是透过转换选择而赢的，所以透过转换选择而赢的概率是2/3。

这个解答在我看来是相当的简洁明了，比我上面讲的更直接。之所以没有在开始引用这个解答，是因为有人有这样的疑问：

参赛者挑的时候，把山羊分为一号、二号，主持人挑的时候怎么不分一号、二号？肯定有问题嘛！

这是表达上的小问题导致的误解，主要是句号的位置不正确。调整成下面这个样子估计会好些：

1. 参赛者挑山羊一号。主持人挑山羊二号，转换将赢得汽车。
2. 参赛者挑山羊二号。主持人挑山羊一号，转换将赢得汽车。
3. 参赛者挑汽车。主持人挑两头山羊的任何一头，转换将失败。

　　昨天晚上看《数字追凶》（Numb3rs)，查理教授在课上讲了这个游戏。视频在这里：http://6.cn/watch/57604.html。